Gratis proefles
Examenstof Havo 5 Wiskunde A

Lineaire verbanden: Waar het misgaat op de toets

Leestijd: 4 minuten (761 woorden)
Foto van Stefan

Stefan

Exponentiële verbanden: wat gebeurt er als de tijd verandert?

(Wiskunde A Havo Bovenbouw)

Een exponentieel verband is een verband waarbij een hoeveelheid toeneemt of afneemt. Deze toe- of afname is dan telkens een gedeelte van deze hoeveelheid. De formule die dit verband beschrijft, heeft de vorm

    \[N = b \cdot g^t.\]

De groeifactor g in deze formule heeft een belangrijke eigenschap, die vaak niet heel duidelijk wordt aangegeven: er hoort een bepaalde tijdseenheid bij. Deze tijdseenheid is nauw verbonden met de t in de formule; de t staat namelijk ook voor ’tijd’.

In de voorbeelden hieronder leer je hoe je met de tijd (zowel t als de tijdseenheid van g) moet omgaan in een exponentieel verband.

Vraag 1

Een bank biedt 3% rente per half jaar. Als je een bedrag 3 jaar op een rekening laat staan bij deze bank, hoeveel procent winst maak je dan? Rond af op hele procenten.

Uitwerking

Een toename van 3% staat gelijk aan een groeifactor g=1.03. Nu moeten we onszelf de vraag stellen: welke tijdseenheid hoort hierbij? Het staat gelukkig erg duidelijk in de vraag: een half jaar.

Onze taak is om te berekenen hoeveel toename er in 3 jaar plaatsvindt. Dat betekent dat de tijd 6 keer zo lang wordt. Dit doen we door gebruik te maken van het gedeelte g^t uit de formule. We kunnen gebruik maken van t om de tijd netjes af te stellen, namelijk:

    \[t=6\]

    \[\rightarrow g^t = g^6 = 1.03^6 = 1.194...\]

We hebben een nieuwe groeifactor gemaakt (g=1.194), en deze groeifactor heeft een nieuwe tijdseenheid, namelijk 3 jaar. Dat hebben we gedaan door op de plek van t in te vullen hoe vaak we de oude tijdseenheid nodig hadden (6 keer). Een groeifactor van 1.194 betekent 19.4% groei.

Conclusie: We moeten afronden op hele procenten, dus als eindantwoord geven we: 19% groei.

Vraag 2

In 2005 had de gemiddelde gebruiker van een mobiele telefoon 250 MB mobiel internet per maand. In 2025 was dit gemiddeld 14 GB per maand. Ga er vanuit dat de hoeveelheid mobiel internet voor gebruikers exponentieel groeide in deze tijd, en stel een formule op van de hoeveelheid GB mobiele data die gebruikers hadden in de vorm

    \[N=b\cdot g^t,\]

met t in jaren, en t=0 in 2005. Rond af op 2 decimalen.

Uitwerking

Bij het opstellen van een exponentiële formule is het jouw taak om b en g te vinden. In dit geval weet je b al: in de opdracht lezen we dat t=0 in 2005, dus ons begingetal is de hoeveelheid data in 2005. Dat is 250 MB, oftewel 0.25 GB.

Wat weten we al over g? We weten dat de mobiele data is gestegen van 0.25 naar 14 GB. Dat betekent dat de mobiele data 56 keer zo groot is geworden, en dat duurde 20 jaar. Met andere woorden: g=56, en de tijdseenheid die bij deze g hoort, is 20 jaar.

De opdracht vertelt ons dat we een formule moeten opstellen met t in jaren. Zoals gezegd zijn t en de tijdseenheid van g nauw verbonden met elkaar: we moeten de tijdseenheid van g veranderen, van 20 naar 1 jaar. Dit betekent dat de tijd 20 keer zo klein wordt:

    \[t=\frac{1}{20}\]

    \[\rightarrow g^t = g^{1/20} = 56^{1/20} = 1.222...\]

De (oude) g heeft hier een tijdseenheid van 20 jaar. De t geeft, net als in Vraag 1, aan hoe vaak we deze tijdseenheid willen gebruiken. We willen weten wat er in 1 jaar gebeurt, en dat is uiteraard 1/20 van 20 jaar. De uitkomst hiervan is onze nieuwe g, en deze heeft dan de correcte tijdseenheid.

Conclusie: Uit de vraag lezen we b=0.25. Er wordt gevraagd voor een formule met t in jaren, en we hebben berekend dat, in dat geval, g=1.22. Dus

    \[N = 0.25\cdot1.22^t.\]

Vraag 3

Een hoeveelheid wordt elke 7 minuten 7% kleiner. Bereken hoeveel procent van de hoeveelheid er is verdwenen na een uur. Rond af op hele procenten.

Uitwerking

In Vraag 1 hebben we gezien hoe je de tijdseenheid van g groter kunt maken, in Vraag 2 hebben we hem juist kleiner gemaakt. In deze vraag is het echter niet zo simpel om in één stap de tijdseenheid netjes te maken. In deze vraag wil ik laten zien hoe je kunt doorrekenen met je eigen antwoord, om zo meerdere stappen te zetten.

Deze hoeveelheid wordt 7% kleiner, dus g=0.93, met een tijdseenheid van 7 minuten. Laten we daar eerst eventjes 1 minuut van maken. Dat betekent dus t=\frac{1}{7}:

    \[g^{1/7} = 0.93^{1/7} = 0.989...\]

Het is nu erg belangrijk dat we dit getal niet afronden!! We moeten er namelijk nog mee doorrekenen. De tijdseenheid van onze nieuwe g moeten we van 1 minuut veranderen in 1 uur, dus we moeten hem 60 keer zo lang laten duren. Dat geeft ons t=60:

    \[0.989...^{60} = 0.536...\]

Conclusie: We zien dat er na een uur nog, afgerond, 54% van de hoeveelheid over is. Dit betekent dat er 46% is verdwenen.

Inhoudsopgave

Lees ook eens...
Examenstof Havo 5 Wiskunde A

Lineaire verbanden: Waar het misgaat op de toets

Lineaire verbanden Havo uitgelegd: y=ax+b met inzichtsvragen uit eindexamen 2023. Leer hellingsgetal en startgetal berekenen met praktische voorbeelden.
Foto van Stefan

Stefan

Examenstof Havo 5 Wiskunde A

Rekenen met procenten

Procenten berekenen zonder formules: leer de 3 gouden regels voor groeifactoren en percentages. Van 60% afname tot populatiegroei met praktijkvoorbeelden.
Foto van Stefan

Stefan

Examenstof Havo 5 Wiskunde A

Exponentiële verbanden: wat gebeurt er als de tijd verandert?

Exponentiële groei en afname begrijpen: van bankrente tot mobiele data. Leer werken met groeifactor g en tijdseenheden met praktische voorbeelden.
Foto van Stefan

Stefan

Moeilijke vragen bestaan niet!

Staat je vraag er niet tussen? Neem contact op!

Hebben jullie op de korte termijn docenten beschikbaar?

Ja! Wij hebben vrijwel altijd docenten beschikbaar die op de korte termijn bijles kunnen geven in de Bèta vakken aan huis in Groningen. In drukke periodes laten we tijdig weten op welk termijn we docenten beschikbaar hebben.

Dat kan zeker! Er valt vrijwel altijd iets te regelen. Leerlingen die buiten de stad wonen spreken vaak af met onze docenten op openbare locaties zoals het forum of de middelbare school. Mocht de afstand te doen zijn per fiets, dan rekenen wij vaak voor bijles aan huis buiten de stad Groningen een reiskostenvergoeding van 5 euro per les, die rechtstreeks naar de docent gaat. Anders is online ook altijd nog een optie, al raden wij dat niet aan. De ervaring leert dat fysieke les het beste werkt!

Na de bijlessen sturen wij een factuur. Dit doen wij iedere maand. Je kan het factuur in de eerste twee week van de volgende maand verwachten. Deze is gemakkelijk online te betalen. Wil je je factuur controleren? Alle bijlessen zijn makkelijk terug te vinden vinden via mijn.bijlesbeta.nl.

Dat kan zeker! Onze topdocenten zijn zeer flexibel, door hun brede kennis kunnen we ons makkelijk aanpassen aan jou bijles vraag. Al onze docenten zijn student aan de Faculty of Science & Engineering van de Rijksuniversiteit Groningen, waardoor ze bijvoorbeeld ook vaardig genoeg zijn om je te helpen met een toelatingsexamen of cursus in bèta vakken.

Geef dat minstens 24 uur van te voren aan! Bij ons geldt dat de bijles tot 24 uur van tevoren mag worden afgezegd. Hierna zijn wij noodzakelijk de bijles te verreken. Onze docenten studeren allemaal en hebben het geven van bijles als bijbaan, wat er voor zorgt dat zij bijlessen zorgvuldig moeten inplannen. Vandaar dat wij genoodzaakt zijn een bijles alsnog te verrekenen wanneer deze binnen 24 uur wordt afgezegd.

Dat doen we zeker! We geven dit jaar examentraining voor het vak wiskunde. 

Klik hier voor meer informatie.

Voor alle andere vakken kunnen onze docenten je perfect voorbereiden op je examen via onze bijles.