Op het formuleblad van je examen wiskunde A staan zes methodes waarmee je een uitspraak kunt doen over het verschil tussen twee groepen. De kruistabel met phi (φ) is er daar één van, en hij komt regelmatig terug op het eindexamen. In dit artikel leggen we stap voor stap uit wat een kruistabel is, hoe je hem invult, en hoe je met de phi-formule bepaalt of een verschil groot, middelmatig of gering is. Aan het eind werken we een volledige voorbeeldopgave uit, precies zoals je die op je examen tegenkomt.
Wat is een kruistabel?
Een kruistabel (ook wel 2×2 tabel) is een overzichtelijke manier om een groep mensen of objecten op twee verschillende manieren in tweeën te splitsen. Je maakt daarbij gebruik van twee nominale variabelen. Dat zijn variabelen die je in categorieën indeelt zonder rangorde. Denk aan jongens/meisjes, geslaagd/gezakt, of voor/tegen.
Door deze twee splitsingen te combineren krijg je vier groepen. Elke groep levert één getal op, en samen vormen die vier getallen jouw kruistabel:
| Groep A | Groep B | |
|---|---|---|
| Eigenschap 1 | a | b |
| Eigenschap 2 | c | d |
De letters a, b, c en d zijn altijd absolute aantallen, en dus geen percentages of verhoudingen. Met deze vier getallen kun je vervolgens de phi-coëfficiënt (φ) berekenen.
De formule voor phi (φ)
De phi-coëfficiënt bereken je met de volgende formule, die ook op je formuleblad staat:
$$\phi = \frac{ad-bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}}$$
De uitkomst van φ is een getal dat (in theorie) tussen −1 en 1 ligt. Hoe verder de waarde van nul af ligt, hoe groter het verschil tussen de twee groepen. Het invullen van deze formule is in feite een substitutieopgave: je vervangt de letters door de getallen uit je kruistabel en rekent stap voor stap uit.
Vuistregels: groot, middelmatig of gering verschil
Op het formuleblad staan vuistregels waarmee je de uitkomst van φ interpreteert:
- Als φ < −0,4 of φ > 0,4, dan zeggen we: “het verschil is groot”
- Als −0,4 ≤ φ < −0,2 of 0,2 < φ ≤ 0,4, dan zeggen we: “het verschil is middelmatig”
- Als −0,2 ≤ φ ≤ 0,2, dan zeggen we: “het verschil is gering”
Let op: de grenzen −0,4 en 0,4 vallen bij middelmatig, niet bij groot. En −0,2 en 0,2 vallen bij gering. Dit is een veelgemaakte fout op het examen, dus bestudeer de ≤ en < tekens op je formuleblad goed!
Wanneer gebruik je de kruistabel op het examen?
Op het formuleblad van wiskunde A staan zes methodes om een verschil tussen twee groepen te meten. Het is belangrijk dat je weet wanneer je welke methode kiest. De kruistabel met phi is de juiste keuze wanneer aan deze twee voorwaarden wordt voldaan:
Ten eerste: je hebt twee nominale variabelen. Dat zijn variabelen die je kunt indelen in categorieën zonder volgorde, zoals geslacht (jongen/meisje), voorkeur (A/B), of uitkomst (wel/niet).
Ten tweede: je kunt beide variabelen in precies twee groepen splitsen, zodat je een 2×2 tabel krijgt.
Heb je in plaats daarvan gegevens met gemiddelden en standaardafwijkingen? Dan gebruik je de effectgrootte. Heb je twee groepen met ordinale gegevens en meer dan twee categorieën? Dan kijk je naar het maximaal verschil in cumulatief percentage (max Vcp) of vergelijk je boxplots.
Voorbeeld: kruistabel invullen en phi berekenen
Hieronder werken we een volledige voorbeeldopgave uit. We doen dit stap voor stap, precies zoals je dat op je examen ook zou doen.
De opgave
Alle havoleerlingen van een middelbare school gaan samen op excursie. Er werd gestemd tussen twee opties: het Mediapark in Hilversum of het Rijksmuseum in Amsterdam. Op de havo van deze school zitten in totaal 410 jongens en 445 meisjes. Van de jongens stemden er 236 voor het Mediapark, en van de meisjes stemden er 160 voor het Mediapark.
Vraag: bereken of er tussen de jongens en de meisjes een groot, middelmatig of gering verschil is.
Stap 1: Groepen splitsen
De strategie bij een kruistabel-opdracht is altijd hetzelfde: je splitst je totale groep op twee verschillende manieren in tweeën. In dit geval zijn de twee splitsingen:
De eerste splitsing is geslacht: jongens en meisjes. De tweede splitsing is stemkeuze: Mediapark en Rijksmuseum.
De splitsing jongen/meisje is al gegeven. We moeten nu de stemkeuze per groep uitrekenen. Omdat 236 van de 410 jongens voor het Mediapark kozen, wilden 410 − 236 = 174 jongens naar het Rijksmuseum. Voor de meisjes geldt: 445 − 160 = 285 meisjes wilden naar het Rijksmuseum.
Stap 2: Kruistabel invullen
Nu vullen we de vier getallen in de kruistabel in. Een handig geheugensteuntje: denk aan “A, B, Ja, Nee”. Je ziet dan direct dat de twee splitsingen los van elkaar staan. In plaats van A en B gebruiken we jongens en meisjes, en voor Ja/Nee gebruiken we Rijksmuseum/Mediapark. Het maakt niet uit welke splitsing je waar neerzet, want je eindantwoord voor φ is hetzelfde.
| Jongens (A) | Meisjes (B) | |
|---|---|---|
| Rijksmuseum (Ja) | (a =) 174 | (b =) 285 |
| Mediapark (Nee) | (c =) 236 | (d =) 160 |
Stap 3: Phi berekenen en conclusie trekken
We vullen de getallen in de formule in:
$$\phi = \frac{174 \times 160 – 285 \times 236}{\sqrt{(174+285)(174+236)(285+160)(236+160)}}$$
$$= \frac{27.840 – 67.260}{\sqrt{459 \times 410 \times 445 \times 396}}$$
$$\phi \approx -0{,}216$$
We vergelijken deze uitkomst met de vuistregels. Omdat −0,4 ≤ −0,216 < −0,2 geldt: het verschil is middelmatig.
Conclusie: Het verschil in stemgedrag tussen jongens en meisjes is middelmatig, met φ ≈ −0,22.
Controleer op je GR: Je kunt de berekening van φ eenvoudig controleren op je grafische rekenmachine. Vul de hele formule in één keer in en let daarbij extra goed op de haakjes. Rond pas af in je eindantwoord, niet tussendoor.
Veelgemaakte fouten bij de kruistabel
Bij het nakijken van toetsen en examens zien we steeds dezelfde fouten terugkomen. Hier zijn de vijf meest voorkomende, en hoe je ze voorkomt.
1. Percentages in plaats van aantallen invullen. De getallen a, b, c en d in de kruistabel moeten altijd absolute aantallen zijn. Geeft de opgave percentages? Reken deze dan eerst om naar aantallen.
2. Tussentijds afronden. Rond pas af in je uiteindelijke antwoord. Als je tussenstappen afrondt, kan je eindantwoord net aan de verkeerde kant van een vuistregelgrens uitkomen, waardoor je de verkeerde conclusie trekt.
3. Haakjes vergeten bij het invullen op de rekenmachine. De noemer van de phi-formule bevat vier factoren die elk tussen haakjes staan. Vergeet je er één, dan komt er een compleet ander getal uit. Tip: typ de formule in je GR precies zo over als hij op het formuleblad staat.
4. De vuistregels verkeerd aflezen. Let op: φ = −0,4 valt bij middelmatig (niet bij groot), en φ = 0,2 valt bij gering (niet bij middelmatig). Kijk goed naar de ≤ en < tekens.
5. Geen conclusie formuleren. Het berekenen van φ is niet het eindantwoord. Je moet altijd een conclusie schrijven in woorden, zoals: “Het verschil is middelmatig.” Vergeet dit niet, want hier worden punten voor gegeven.
Samenvatting: stappenplan kruistabel en phi
Gebruik dit stappenplan als checklist bij iedere kruistabel-opgave op je examen:
- Bepaal de twee nominale splitsingen in de opgave.
- Bereken de ontbrekende aantallen (totaal minus het gegeven aantal).
- Vul de vier aantallen in de 2×2 kruistabel in als a, b, c en d.
- Bereken φ met de formule van het formuleblad.
- Vergelijk φ met de vuistregels en schrijf je conclusie op.
Meer wiskunde uitleg in de kennisbank
Wil je ook andere onderwerpen van het formuleblad oefenen? Lees dan onze uitleg over de effectgrootte, oefen je substitutievaardigheden, of bekijk onze artikelen over lineaire verbanden en exponentiële verbanden.
Hulp nodig bij statistiek? Bij Bijles Bèta helpen onze wiskundedocenten je met alle onderwerpen van het formuleblad, van kruistabellen tot betrouwbaarheidsintervallen. Bekijk onze examentraining voor wiskunde in Groningen.
