Afgeleide functies — wat betekent dat eigenlijk?

Afgeleide functies — wat betekent dat eigenlijk?

Stel je voor: je bekijkt een auto die rijdt. Je weet de afstand die hij in de tijd aflegt, bijvoorbeeld via een formule. Maar hoe kom je erachter hoe snel de auto op een precies tijdstip rijdt?

Het gemiddelde over een paar seconden kun je berekenen, maar dat zegt niets over het exacte moment. Om dat idee te begrijpen gebruiken we de afgeleide functie.

Vraag 1

Een auto legt een afstand af volgens de formule

waarbij $s$ in meters en $t$ in seconden is. Hoe snel rijdt de auto op precies $t=3$ seconden?

Uitwerking:

1. We berekenen eerst de gemiddelde snelheid op een klein interval. De gemiddelde snelheid tussen $t=3$ en $t=3+h$ is gegeven door:
   $v_{\text{gem}}(h) = \frac{s(3+h)-s(3)}{h}.$
2. Als we dan de formule invullen krijgen we:
   $s(3+h)=5(3+h)^2=45+30h+5h^2.$
   $v_{\text{gem}}(h)=\frac{(45+30h+5h^2)-45}{h}=30+5h.$
3. Voor steeds kleinere $h$ nadert de snelheid $30$. Dus
   $v(3)=\lim_{h\to 0}(30+5h)=30.$

Conclusie: Op $t=3$ seconden rijdt de auto 30 m/s. Dit is precies wat we bedoelen met de afgeleide: de snelheid op één moment.

Vraag 2

Een fietser legt afstand af volgens $f(t)=4t$. Hoe verschilt de snelheid van deze fietser van de auto uit vraag 1?

Uitwerking:

1. Gemiddelde snelheid tussen $t$ en $t+h$:
   $\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\frac{4(t+h)-4t}{h}=\frac{4h}{h}=4.$
2. Er valt niets meer te benaderen: de snelheid is altijd precies 4.

Conclusie: Bij een rechte lijn is de snelheid overal hetzelfde: de afgeleide is constant. Bij een kromme (zoals $s(t)=5t^2$) verandert de snelheid en is de afgeleide afhankelijk van $t$.

Vraag 3

Een wandelaar loopt langs een rechte weg en keert plotseling om. De positie wordt beschreven door

Wat is de snelheid precies op $t=0$?

Uitwerking:

1. Voor $t>0$: gemiddelde verandering $\frac{|h|}{h}=\frac{h}{h}=1$.
2. Voor $t<0$: gemiddelde verandering $\frac{|h|}{h}=\frac{-h}{h}=-1$.
3. De linker- en rechterkant geven dus verschillende uitkomsten.

Conclusie: Er bestaat geen duidelijke snelheid op $t=0$. Bij een knik of plotselinge richtingsverandering bestaat de afgeleide niet.

Samenvatting

• De afgeleide is de instantane snelheid van verandering.
• Bij een kromme functie (zoals een parabool) verandert de afgeleide met $t$.
• Bij een rechte lijn is de afgeleide constant.
• Bij een knik bestaat de afgeleide niet.