Technieken voor differentiëren

Technieken voor differentiëren

Nu je weet wat een afgeleide betekent, gaan we kijken naar de regels die je helpen om functies stap voor stap af te leiden. Elke regel vertelt je wat er gebeurt als je een bepaald type bewerking ziet in een functie: een som, een product, een breuk of een samenstelling van functies.

Belangrijkste regels

• Somregel: Als je twee functies optelt, dan is de afgeleide gewoon de som van de afzonderlijke afgeleiden:
  $(f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x).$
• Productregel: Bij een vermenigvuldiging geldt
  $(f(x)\cdot g(x))' = f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).$
• Quotiëntregel: Bij een deling geldt
  $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}.$
• Kettingregel: Als $F(x)=f(g(x))$, dus een functie in een functie, dan geldt
  $F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).$

Vraag 1 — Productregel

Bepaal de afgeleide van

Uitwerking:

Deze functie bestaat uit een product: het ene stuk is $x^2$, het andere stuk is $\sin(x)$.

1. Afgeleiden van de losse stukken:
   $(x^2)'=2x, \quad (\sin(x))'=\cos(x).$
2. Pas de productregel toe: “Eerst het eerste afgeleiden en het tweede laten staan, plus het eerste laten staan en het tweede afgeleiden.”
   $h'(x)=2x\cdot \sin(x) + x^2\cdot \cos(x).$

Conclusie: Bij een product komt er altijd twee termen uit: één keer met de afgeleide van de eerste factor, en één keer met de afgeleide van de tweede.

Vraag 2 — Quotiëntregel

Bepaal de afgeleide van

Uitwerking:

Dit is een breuk, dus we gebruiken de quotiëntregel.

1. Hier is de teller $f(x)=\cos(x)$ en de noemer $g(x)=x$.
2. Afgeleiden van de losse stukken:
   $f'(x)=-\sin(x), \quad g'(x)=1.$
3. Quotiëntregel zegt: “Teller is de afgeleide van de bovenkant keer de onderkant, min de bovenkant keer de afgeleide van de onderkant, gedeeld door de onderkant in het kwadraat.”
   $k'(x)=\frac{(-\sin(x))\cdot x - \cos(x)\cdot 1}{x^2}.$
4. Dus:
   $k'(x)=\frac{-x\sin(x)-\cos(x)}{x^2}.$

Conclusie: Bij een breuk moet je goed de volgorde onthouden: eerst afgeleide boven × onder, daarna min boven × afgeleide onder, en dat alles over de noemer in het kwadraat.

Vraag 3 — Kettingregel

Bepaal de afgeleide van

Uitwerking:

Hier zit een functie in een functie: buiten zit een $\sin(\,\cdot\,)$, binnen zit $3x^2$.

1. Buitenkant: $f(u)=\sin(u)$ met afgeleide $f'(u)=\cos(u)$.
2. Binnenkant: $g(x)=3x^2$ met afgeleide $g'(x)=6x$.
3. Kettingregel: vermenigvuldig de afgeleide van de buitenkant met de afgeleide van de binnenkant:
   $m'(x)=\cos(3x^2)\cdot 6x.$

Conclusie: Bij een samenstelling van functies doe je altijd eerst de buitenste afgeleide, en vermenigvuldig je die met de afgeleide van wat er binnen staat.

Vraag 4 — Alles samen

Bepaal de afgeleide van

Uitwerking:

Hier komen alle regels bij elkaar:

• In de teller zie je een som ($x^2\sin(5x)+x$),
• daarin ook een product ($x^2\cdot \sin(5x)$),
• en in die sinus ook nog een ketting ($\sin(5x)$).
• Tot slot staat het geheel in een breuk, dus de quotiëntregel moet worden gebruikt.

1. Noemer: $g(x)=\cos(x)$, met afgeleide $g'(x)=-\sin(x)$.
2. Teller: $f(x)=x^2\sin(5x)+x$.
   
   • Dit is een som, dus leid de twee termen apart af.
   • Eerste term: $x^2\sin(5x)$. Dit is een product:
     $(x^2)'=2x$, $(\sin(5x))'=5\cos(5x)$.
     Dus:
     $(x^2\sin(5x))' = 2x\sin(5x)+5x^2\cos(5x).$
   • Tweede term: $x$. Afgeleide is gewoon 1.
   • Samen:
     $f'(x)=2x\sin(5x)+5x^2\cos(5x)+1.$
3. Quotiëntregel:
   $p'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}.$
4. Invullen:
   $p'(x)=\frac{[2x\sin(5x)+5x^2\cos(5x)+1]\cos(x)-[x^2\sin(5x)+x]\cdot(-\sin(x))}{\cos^2(x)}.$

Conclusie: Soms moet je meerdere regels achter elkaar toepassen. Het helpt om de functie in stukjes te analyseren: zie je een som, een product, een ketting, of een quotiënt? Vaak zijn ze gecombineerd, en dan pas je de regels in de juiste volgorde toe.