Lineaire verbanden: Waar het misgaat op de toets

Q: Hebben jullie op de korte termijn docenten beschikbaar?

Ja! Wij hebben vrijwel altijd docenten beschikbaar die op de korte termijn bijles kunnen geven in de Bèta vakken aan huis in Groningen. In drukke periodes laten we tijdig weten op welk termijn we docenten beschikbaar hebben.

Q: Ik woon buiten Groningen, kan ik ook bijles krijgen van jullie?

Dat kan zeker! Er valt vrijwel altijd iets te regelen. Leerlingen die buiten de stad wonen spreken vaak af met onze docenten op openbare locaties zoals het forum of de middelbare school. Mocht de afstand te doen zijn per fiets, dan rekenen wij vaak voor bijles aan huis buiten de stad Groningen een reiskostenvergoeding van 5 euro per les, die rechtstreeks naar de docent gaat. Anders is online ook altijd nog een optie, al raden wij dat niet aan. De ervaring leert dat fysieke les het beste werkt!

Q: Wanneer en hoe betaal ik voor de bijles?

Na de bijlessen sturen wij een factuur. Dit doen wij iedere maand. Je kan het factuur in de eerste twee week van de volgende maand verwachten. Deze is gemakkelijk online te betalen. Wil je je factuur controleren? Alle bijlessen zijn makkelijk terug te vinden vinden via mijn.bijlesbeta.nl.

Q: Ik zit niet op de middelbare school, kan ik ook bijles krijgen van jullie?

Dat kan zeker! Onze topdocenten zijn zeer flexibel, door hun brede kennis kunnen we ons makkelijk aanpassen aan jou bijles vraag. Al onze docenten zijn student aan de Faculty of Science & Engineering van de Rijksuniversiteit Groningen, waardoor ze bijvoorbeeld ook vaardig genoeg zijn om je te helpen met een toelatingsexamen of cursus in bèta vakken.

Q: Ik moet de bijles helaas kort van te voren afzeggen, wat gebeurt er dan?

Geef dat minstens 24 uur van te voren aan! Bij ons geldt dat de bijles tot 24 uur van tevoren mag worden afgezegd. Hierna zijn wij noodzakelijk de bijles te verreken. Onze docenten studeren allemaal en hebben het geven van bijles als bijbaan, wat er voor zorgt dat zij bijlessen zorgvuldig moeten inplannen. Vandaar dat wij genoodzaakt zijn een bijles alsnog te verrekenen wanneer deze binnen 24 uur wordt afgezegd.

Q: Geven jullie ook examen training?

Dat doen we zeker! We geven dit jaar examentraining voor het vak wiskunde. Klik hier voor meer informatie.Voor alle andere vakken kunnen onze docenten je perfect voorbereiden op je examen via onze bijles.

18 december 2025

Leestijd: 6 minuten (1162 woorden)

Stefan

Lineaire verbanden: Waar het misgaat op de toets

(Wiskunde A Havo Bovenbouw)

Voor de toets- en examenstof van Havo 4 en 5 wordt er van je verwacht dat je kunt rekenen met een lineair verband. Het is het simpelste verband dat er bestaat in een assenstelsel (gewoon een rechte lijn), en ook één van de eerste verbanden die je leert. De formule heeft de vorm

$y=ax+b.$

Er wordt echter al snel van je verwacht dat je lineaire verbanden helemaal beheerst. Omdat dit relatief weinig stof is om gewoon uit je hoofd te leren, voelen docenten, en de makers van eindexamens, zich vrij om juist bij het lineaire verband veel inzichtsvragen te stellen. Met de voorbeelden hieronder wil ik je voorbereiden op zulke inzichtsvragen, en ervoor zorgen dat je geen punten misloopt bij opdrachten over lineaire verbanden.

De opdrachten hieronder zijn gebaseerd op het Eindexamen Havo Wis A van 2023, Tijdvak 2, vragen 3 en 4. Ik heb ze een klein beetje aangepast, zodat je geen tabellen hoeft af te lezen, en je vraag 1 en 2 niet hoeft te maken.

Vraag 1

Op 1 juli 1995 rookte 29% van de vrouwen in Nederland. Op 1 juli 2004 was dit percentage gedaald naar 26%. Met deze gegevens kan een formule worden opgesteld:

$P_V = at+b$

Hierin is $P_V$ het percentage van de vrouwen dat rookt en $t$ het aantal jaren vanaf 1 juli 1990. Stel met de gegeven percentages de formule van $P_V$ helemaal op. Rond af op 3 decimalen.

Uitwerking

Als je de formule van een lineair verband moet opstellen, is het jouw taak om het hellingsgetal $a$ en het startgetal $b$ te berekenen. Het startgetal $b$ is de waarde waarmee de formule “begint”; meestal is dit de waarde op $x=0$ (omdat formules nu eenmaal beginnen op $x=0$ ), oftewel het snijpunt met de $y$ -as.

Voor het hellingsgetal $a$ geldt de formule:

$a = \frac{\Delta y}{\Delta x}.$

In deze opdracht neemt $P_V$ de rol van $y$ , en neemt $t$ de rol van $x$ , dus:

$a = \frac{\Delta P_V}{\Delta t} = \frac{26-29}{2004-1995} = \frac{-3}{9} = -0.333.$

Het berekenen van $b$ is iets ingewikkelder: waar “start” deze formule eigenlijk? Normaal is dat $x=0$ (of dus in dit geval $t=0$ ), maar het is niet de bedoeling dat we helemaal terugrekenen naar het jaar nul.

Er wordt gelukkig in de vraag aangegeven waar de formule echt “start”, namelijk 1 juli 1990. Het is belangrijk dat je dit soort hints oppikt tijdens het lezen van de vraag: normaal gebruik je $x=0$ als “startpunt”, maar nu gebruiken we dus het jaar 1990 als startpunt. En we weten: het startgetal $b$ is de waarde van y (of in dit geval, $P_V$ ) tijdens het startpunt. Dus om deze waarde te vinden, moeten we terugrekenen naar 1990.

Dat brengt ons bij de meest voorkomende manier waarop je $b$ berekent in een lineair verband: als je $a$ al hebt berekend, kun je een bekend punt ( $x$ en $y$ ) invullen in de formule om $b$ te vinden.

We hebben twee datapunten gekregen: namelijk $P_V=29$ in het jaar 1995, en $P_V = 26$ in het jaar 2004. Als het jaar 1990 ons startpunt is, dan betekent dat: in 1995 geldt, $t=5$ , en in 2004 geldt $t=14$ . Nu gaan we één van deze twee punten invullen:

$29 = -0.333\cdot 5 + b,$

$29 + 0.333\cdot 5 = b,$

$b = 30.667.$

Een belangrijk detail dat ik hier wil toevoegen, is dat het invullen van $P_V = 26$ met $t=14$ op exact hetzelfde antwoord uitkomt.

Conclusie: We hebben berekend dat $a=-0.333$ , $b=30.667$ , allebei afgerond op 3 decimalen. Er geldt dus voor de formule van $P_V$ :

$P_V = -0.333t + 30.667.$

Vraag 2

Voor het percentage mannen dat rookt in Nederland ( $P_M$ ) geldt

$P_M = -0.61 t + 25.93,$

waarin $t$ het aantal jaren is vanaf 1 juli 2018. Onderzoek in welk jaar het percentage mannen dat rookt en het percentage vrouwen dat rookt gelijk zullen zijn.

Uitwerking

Om het snijpunt van twee lijnen te vinden, gebruik je je Grafische Rekenmachine. Ik kan helaas geen complete uitleg van dat proces geven, omdat er meerdere soorten GR bestaan, maar kort samengevat: je gaat naar de plek waar je formules met $x$ kunt invullen, je voert hier de twee formules in, en gebruikt een functie als intersect of snijpunt, om de $x$ -waarde te vinden waar de twee lijnen elkaar snijden.

We hebben twee formules: namelijk $P_V = -0.333t + 30.667$ en $P_M = -0.61 t + 25.93$ . Deze formules zijn echter verschillend op een erg belangrijke manier: ze beginnen niet op dezelfde plek. De formule voor vrouwen, $P_V$ , begint in het jaar 1990, en $P_M$ in 2018. Dat verschil moeten we eerst oplossen. Oftewel: we moeten het startgetal van één van de formules aanpassen, zodat de formules tegelijkertijd kunnen “starten”.

Laat ik de formule van $P_V$ gebruiken, en doorrekenen naar 2018. De huidige formule begint in 1990, dus dat betekent dat we 28 jaar door moeten rekenen ( $t=28$ ). Dus in 2018 geldt:

$P_V = -0.333\cdot28+30.667 = 21.343.$

Dit is ons nieuwe startgetal $b$ ; het hellingsgetal $a$ blijft gewoon hetzelfde. Dus een formule voor $P_V$ die vanaf 2018 geldt, is:

$P_V = -0.333t + 21.343.$

Voordat ik verderga, wil ik eventjes kort kijken naar de start- en hellingsgetallen van deze twee formules, en wat ze betekenen. Het startgetal, dus het percentage rokers, is in 2018 hoger bij de mannen dan dat bij de vrouwen: 25.93% tegen 21.343%. We zien echter dat het hellingsgetal voor de mannen, $-0.61,$ groter (negatiever) is dan dat van de vrouwen, $-0.333$ .

Dat betekent dat het percentage mannen dat rookt sneller daalt dan het percentage vrouwen. Ergens in de toekomst zal $P_M$ dus kleiner worden dan $P_V$ , volgens deze formules. Wat dat dus ook betekent, is dat er een kort moment zal zijn dat de twee percentages gelijk zijn: en dat is precies het moment dat wij moeten vinden.

Omdat beide formules in 2018 beginnen, kunnen we de vraag inmiddels beantwoorden, met onze GR. Door op te stellen dat

$P_M = P_V$

$\rightarrow -0.61t+25.93 = -0.333t+21.343,$

en gebruik te maken van de intersect of snijpunt-functie, vinden we $t=16.07.$ Dat betekent dat we ietsje meer dan 16 jaar moeten optellen bij ons beginpunt. Ons beginpunt is 1 juli 2018. Dat is precies halverwege het jaar; dus wanneer $P_V$ en $P_M$ gelijk zijn aan elkaar (16.07 jaar later), is het nog 2034.

Ik wil hier weer even een belangrijk detail aan toevoegen: we hadden ook de formule van $P_M$ mogen gebruiken, en deze laten beginnen in 1990, door terug te rekenen vanaf 2018. Daarna kun je deze gelijkstellen aan $P_V$ die begint in 1990. Net als in Vraag 1 maakt het niet uit welke je kiest; je komt op hetzelfde antwoord uit.

Conclusie: De formules, die allebei op 1 juli 2018 beginnen, snijden elkaar op $t=16.07$ , dus $P_V$ en $P_M$ zijn hetzelfde in 2034.

Samenvatting

Omdat een lineair verband relatief simpel is, wordt er een hoog niveau van beheersing van je verwacht. Zo wordt er bijvoorbeeld verwacht dat je:

formules van lineaire verbanden kunt opstellen,
kunt bedenken waar de formule echt “start”, wanneer er geen simpel “snijpunt met de y-as” bestaat,
het hellingsgetal niet alleen kunt berekenen, maar ook kunt gebruiken om de functiewaarde te vinden op andere punten op de lijn,
je begrijpt wanneer je iets met de hand moet doen, en wanneer je gebruik kunt maken van je GR.

Voor sommige stappen kun je altijd dezelfde routine volgen, zoals het berekenen van het hellingsgetal, maar soms is er meer overzicht nodig om een vraag te kunnen beantwoorden. Sterker nog, dat overzicht maakt het vaak ook duidelijk wát je precies moet doen. Dat scheelt tijd, en ook punten op je toets.

Statistiek: Werken met de Kruistabel

Kruistabel statistiek: bereken phi (φ) en bepaal of verschil groot, middelmatig of gering is. Met praktisch voorbeeld over schoolexcursie keuze.

Stefan

Examenstof Wiskunde A

7 februari 2026

Statistiek: Werken met de Effectgrootte

Statistiek effectgrootte berekenen: wanneer is verschil groot, gemiddeld of gering? Stap-voor-stap uitleg met standaardafwijking en steekproefgemiddelden.

Stefan

Examenstof Wiskunde A

7 februari 2026

Substitutie: Eerst denken, dan doen

Substitutie wiskunde uitgelegd: variabelen vrijmaken en vervangen in formules. Van simpele voorbeelden tot vliegtuigberekeningen uit het eindexamen.

Stefan

Moeilijke vragen bestaan niet!

Staat je vraag er niet tussen? Neem contact op!

Hebben jullie op de korte termijn docenten beschikbaar?

Ja! Wij hebben vrijwel altijd docenten beschikbaar die op de korte termijn bijles kunnen geven in de Bèta vakken aan huis in Groningen. In drukke periodes laten we tijdig weten op welk termijn we docenten beschikbaar hebben.

Ik woon buiten Groningen, kan ik ook bijles krijgen van jullie?

Dat kan zeker! Er valt vrijwel altijd iets te regelen. Leerlingen die buiten de stad wonen spreken vaak af met onze docenten op openbare locaties zoals het forum of de middelbare school. Mocht de afstand te doen zijn per fiets, dan rekenen wij vaak voor bijles aan huis buiten de stad Groningen een reiskostenvergoeding van 5 euro per les, die rechtstreeks naar de docent gaat. Anders is online ook altijd nog een optie, al raden wij dat niet aan. De ervaring leert dat fysieke les het beste werkt!

Wanneer en hoe betaal ik voor de bijles?

Na de bijlessen sturen wij een factuur. Dit doen wij iedere maand. Je kan het factuur in de eerste twee week van de volgende maand verwachten. Deze is gemakkelijk online te betalen. Wil je je factuur controleren? Alle bijlessen zijn makkelijk terug te vinden vinden via mijn.bijlesbeta.nl.

Ik zit niet op de middelbare school, kan ik ook bijles krijgen van jullie?

Dat kan zeker! Onze topdocenten zijn zeer flexibel, door hun brede kennis kunnen we ons makkelijk aanpassen aan jou bijles vraag. Al onze docenten zijn student aan de Faculty of Science & Engineering van de Rijksuniversiteit Groningen, waardoor ze bijvoorbeeld ook vaardig genoeg zijn om je te helpen met een toelatingsexamen of cursus in bèta vakken.

Ik moet de bijles helaas kort van te voren afzeggen, wat gebeurt er dan?

Geef dat minstens 24 uur van te voren aan! Bij ons geldt dat de bijles tot 24 uur van tevoren mag worden afgezegd. Hierna zijn wij noodzakelijk de bijles te verreken. Onze docenten studeren allemaal en hebben het geven van bijles als bijbaan, wat er voor zorgt dat zij bijlessen zorgvuldig moeten inplannen. Vandaar dat wij genoodzaakt zijn een bijles alsnog te verrekenen wanneer deze binnen 24 uur wordt afgezegd.

Geven jullie ook examen training?

Dat doen we zeker! We geven dit jaar examentraining voor het vak wiskunde.

Klik hier voor meer informatie.

Voor alle andere vakken kunnen onze docenten je perfect voorbereiden op je examen via onze bijles.

Lineaire verbanden: Waar het misgaat op de toets

Stefan

Lineaire verbanden: Waar het misgaat op de toets

Vraag 1

Uitwerking

Vraag 2

Uitwerking

Samenvatting

Inhoudsopgave

Lees ook eens...

Statistiek: Werken met de Kruistabel

Stefan

Statistiek: Werken met de Effectgrootte

Stefan

Substitutie: Eerst denken, dan doen

Stefan

Moeilijke vragen bestaan niet!

Mijn Bijles Bèta