Gratis proefles
Wiskunde

Technieken voor differentiëren

Leestijd: 3 minuten (468 woorden)
Foto van Thomas Smeman

Thomas Smeman

Technieken voor differentiëren

Nu je weet wat een afgeleide betekent, gaan we kijken naar de regels die je helpen om functies stap voor stap af te leiden. Elke regel vertelt je wat er gebeurt als je een bepaald type bewerking ziet in een functie: een som, een product, een breuk of een samenstelling van functies.

Belangrijkste regels

  • Somregel: Als je twee functies optelt, dan is de afgeleide gewoon de som van de afzonderlijke afgeleiden:

        \[(f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x).\]

  • Productregel: Bij een vermenigvuldiging geldt

        \[(f(x)\cdot g(x))' = f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).\]

  • Quotiëntregel: Bij een deling geldt

        \[\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}.\]

  • Kettingregel: Als F(x)=f(g(x)), dus een functie in een functie, dan geldt

        \[F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).\]

Vraag 1 — Productregel

Bepaal de afgeleide van

    \[h(x)=x^2\cdot \sin(x).\]

Uitwerking:

Deze functie bestaat uit een product: het ene stuk is x^2, het andere stuk is \sin(x).

  1. Afgeleiden van de losse stukken:

        \[(x^2)'=2x, \quad (\sin(x))'=\cos(x).\]

  2. Pas de productregel toe: “Eerst het eerste afgeleiden en het tweede laten staan, plus het eerste laten staan en het tweede afgeleiden.”

        \[h'(x)=2x\cdot \sin(x) + x^2\cdot \cos(x).\]

Conclusie: Bij een product komt er altijd twee termen uit: één keer met de afgeleide van de eerste factor, en één keer met de afgeleide van de tweede.

Vraag 2 — Quotiëntregel

Bepaal de afgeleide van

    \[k(x)=\frac{\cos(x)}{x}.\]

Uitwerking:

Dit is een breuk, dus we gebruiken de quotiëntregel.

  1. Hier is de teller f(x)=\cos(x) en de noemer g(x)=x.
  2. Afgeleiden van de losse stukken:

        \[f'(x)=-\sin(x), \quad g'(x)=1.\]

  3. Quotiëntregel zegt: “Teller is de afgeleide van de bovenkant keer de onderkant, min de bovenkant keer de afgeleide van de onderkant, gedeeld door de onderkant in het kwadraat.”

        \[k'(x)=\frac{(-\sin(x))\cdot x - \cos(x)\cdot 1}{x^2}.\]

  4. Dus:

        \[k'(x)=\frac{-x\sin(x)-\cos(x)}{x^2}.\]

Conclusie: Bij een breuk moet je goed de volgorde onthouden: eerst afgeleide boven × onder, daarna min boven × afgeleide onder, en dat alles over de noemer in het kwadraat.

Vraag 3 — Kettingregel

Bepaal de afgeleide van

    \[m(x)=\sin(3x^2).\]

Uitwerking:

Hier zit een functie in een functie: buiten zit een \sin(\,\cdot\,), binnen zit 3x^2.

  1. Buitenkant: f(u)=\sin(u) met afgeleide f'(u)=\cos(u).
  2. Binnenkant: g(x)=3x^2 met afgeleide g'(x)=6x.
  3. Kettingregel: vermenigvuldig de afgeleide van de buitenkant met de afgeleide van de binnenkant:

        \[m'(x)=\cos(3x^2)\cdot 6x.\]

Conclusie: Bij een samenstelling van functies doe je altijd eerst de buitenste afgeleide, en vermenigvuldig je die met de afgeleide van wat er binnen staat.

Vraag 4 — Alles samen

Bepaal de afgeleide van

    \[p(x)=\frac{x^2\cdot \sin(5x)+x}{\cos(x)}.\]

Uitwerking:

Hier komen alle regels bij elkaar:

  • In de teller zie je een som (x^2\sin(5x)+x),
  • daarin ook een product (x^2\cdot \sin(5x)),
  • en in die sinus ook nog een ketting (\sin(5x)).
  • Tot slot staat het geheel in een breuk, dus de quotiëntregel moet worden gebruikt.
  1. Noemer: g(x)=\cos(x), met afgeleide g'(x)=-\sin(x).
  2. Teller: f(x)=x^2\sin(5x)+x.
    • Dit is een som, dus leid de twee termen apart af.
    • Eerste term: x^2\sin(5x). Dit is een product:
      (x^2)'=2x, (\sin(5x))'=5\cos(5x).
      Dus:

          \[(x^2\sin(5x))' = 2x\sin(5x)+5x^2\cos(5x).\]

    • Tweede term: x. Afgeleide is gewoon 1.
    • Samen:

          \[f'(x)=2x\sin(5x)+5x^2\cos(5x)+1.\]

  3. Quotiëntregel:

        \[p'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}.\]

  4. Invullen:

        \[p'(x)=\frac{[2x\sin(5x)+5x^2\cos(5x)+1]\cos(x)-[x^2\sin(5x)+x]\cdot(-\sin(x))}{\cos^2(x)}.\]

Conclusie: Soms moet je meerdere regels achter elkaar toepassen. Het helpt om de functie in stukjes te analyseren: zie je een som, een product, een ketting, of een quotiënt? Vaak zijn ze gecombineerd, en dan pas je de regels in de juiste volgorde toe.

Inhoudsopgave

Lees ook eens...
Wiskunde

Afgeleide functies — wat betekent dat eigenlijk?

Wat is een afgeleide functie? Begrijp instantane snelheid met praktische voorbeelden: van auto's tot fietsers. Leer wanneer de afgeleide wel en niet bestaat.
Foto van Thomas Smeman

Thomas Smeman

Wiskunde

Technieken voor differentiëren

Leer differentiëren met productregel, quotiëntregel en kettingregel. Stap-voor-stap uitleg met voorbeelden van sin(x), cos(x) en samengestelde functies.
Foto van Thomas Smeman

Thomas Smeman

Natuurkunde Scheikunde

Het Periodiek Systeem – Verdiepende Vragen en Uitwerkingen

Het periodiek systeem uitgelegd: groepen, perioden en elektronenstructuur. Van alkalimetalen tot edelgassen met praktische vragen over bindingen en atoomnummers.
Foto van Thomas Smeman

Thomas Smeman

Moeilijke vragen bestaan niet!

Staat je vraag er niet tussen? Neem contact op!

Hebben jullie op de korte termijn docenten beschikbaar?

Ja! Wij hebben vrijwel altijd docenten beschikbaar die op de korte termijn bijles kunnen geven in de Bèta vakken aan huis in Groningen. In drukke periodes laten we tijdig weten op welk termijn we docenten beschikbaar hebben.

Dat kan zeker! Er valt vrijwel altijd iets te regelen. Leerlingen die buiten de stad wonen spreken vaak af met onze docenten op openbare locaties zoals het forum of de middelbare school. Mocht de afstand te doen zijn per fiets, dan rekenen wij vaak voor bijles aan huis buiten de stad Groningen een reiskostenvergoeding van 5 euro per les, die rechtstreeks naar de docent gaat. Anders is online ook altijd nog een optie, al raden wij dat niet aan. De ervaring leert dat fysieke les het beste werkt!

Nee! Wij hebben geen opzegtermijn. Leerlingen en docenten regelen bij ons onderling wanneer de bijles plaatsvindt, op de momenten dat voor beiden het beste uitkomt. Als dit ophoudt, geldt er bij ons geen verplichting om door te gaan.

Na de bijlessen sturen wij een factuur. Dit doen wij iedere maand. Je kan het factuur in de eerste twee week van de volgende maand verwachten. Deze is gemakkelijk online te betalen. Wil je je factuur controleren? Alle bijlessen zijn makkelijk terug te vinden vinden via mijn.bijlesbeta.nl.

Dat kan zeker! Onze topdocenten zijn zeer flexibel, door hun brede kennis kunnen we ons makkelijk aanpassen aan jou bijles vraag. Al onze docenten zijn student aan de Faculty of Science & Engineering van de Rijksuniversiteit Groningen, waardoor ze bijvoorbeeld ook vaardig genoeg zijn om je te helpen met een toelatingsexamen of cursus in bèta vakken.

Geef dat minstens 24 uur van te voren aan! Bij ons geldt dat de bijles tot 24 uur van tevoren mag worden afgezegd. Hierna zijn wij noodzakelijk de bijles te verreken. Onze docenten studeren allemaal en hebben het geven van bijles als bijbaan, wat er voor zorgt dat zij bijlessen zorgvuldig moeten inplannen. Vandaar dat wij genoodzaakt zijn een bijles alsnog te verrekenen wanneer deze binnen 24 uur wordt afgezegd.

Dat doen we zeker! We geven dit jaar examentraining voor het vak wiskunde. 

Klik hier voor meer informatie.


Voor alle andere vakken kunnen onze docenten je perfect voorbereiden op je examen via onze bijles.