Afgeleide functies — wat betekent dat eigenlijk?

4 december 2025

Leestijd: 2 minuten (321 woorden)

Thomas Smeman

Afgeleide functies — wat betekent dat eigenlijk?

Stel je voor: je bekijkt een auto die rijdt. Je weet de afstand die hij in de tijd aflegt, bijvoorbeeld via een formule. Maar hoe kom je erachter hoe snel de auto op een precies tijdstip rijdt?

Het gemiddelde over een paar seconden kun je berekenen, maar dat zegt niets over het exacte moment. Om dat idee te begrijpen gebruiken we de afgeleide functie.

Vraag 1

Een auto legt een afstand af volgens de formule

$s(t)=5t^2,$

waarbij $s$ in meters en $t$ in seconden is. Hoe snel rijdt de auto op precies $t=3$ seconden?

Uitwerking:

We berekenen eerst de gemiddelde snelheid op een klein interval. De gemiddelde snelheid tussen $t=3$ en $t=3+h$ is gegeven door:
$v_{\text{gem}}(h) = \frac{s(3+h)-s(3)}{h}.$
Als we dan de formule invullen krijgen we:
$s(3+h)=5(3+h)^2=45+30h+5h^2.$

$v_{\text{gem}}(h)=\frac{(45+30h+5h^2)-45}{h}=30+5h.$
Voor steeds kleinere $h$ nadert de snelheid $30$ . Dus
$v(3)=\lim_{h\to 0}(30+5h)=30.$

Conclusie: Op $t=3$ seconden rijdt de auto 30 m/s. Dit is precies wat we bedoelen met de afgeleide: de snelheid op één moment.

Vraag 2

Een fietser legt afstand af volgens $f(t)=4t$ . Hoe verschilt de snelheid van deze fietser van de auto uit vraag 1?

Uitwerking:

Gemiddelde snelheid tussen $t$ en $t+h$ :
$\frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\frac{4(t+h)-4t}{h}=\frac{4h}{h}=4.$
Er valt niets meer te benaderen: de snelheid is altijd precies 4.

Conclusie: Bij een rechte lijn is de snelheid overal hetzelfde: de afgeleide is constant. Bij een kromme (zoals $s(t)=5t^2$ ) verandert de snelheid en is de afgeleide afhankelijk van $t$ .

Vraag 3

Een wandelaar loopt langs een rechte weg en keert plotseling om. De positie wordt beschreven door

$g(t)=|t|.$

Wat is de snelheid precies op $t=0$ ?

Uitwerking:

Voor $t>0$ : gemiddelde verandering $\frac{|h|}{h}=\frac{h}{h}=1$ .
Voor $t<0$ : gemiddelde verandering $\frac{|h|}{h}=\frac{-h}{h}=-1$ .
De linker- en rechterkant geven dus verschillende uitkomsten.

Conclusie: Er bestaat geen duidelijke snelheid op $t=0$ . Bij een knik of plotselinge richtingsverandering bestaat de afgeleide niet.

Samenvatting

De afgeleide is de instantane snelheid van verandering.
Bij een kromme functie (zoals een parabool) verandert de afgeleide met $t$ .
Bij een rechte lijn is de afgeleide constant.
Bij een knik bestaat de afgeleide niet.

Lees ook eens...

4 december 2025

Afgeleide functies — wat betekent dat eigenlijk?

Wat is een afgeleide functie? Begrijp instantane snelheid met praktische voorbeelden: van auto's tot fietsers. Leer wanneer de afgeleide wel en niet bestaat.

Thomas Smeman

4 december 2025

Technieken voor differentiëren

Leer differentiëren met productregel, quotiëntregel en kettingregel. Stap-voor-stap uitleg met voorbeelden van sin(x), cos(x) en samengestelde functies.

Thomas Smeman

Natuurkunde Scheikunde

4 december 2025

Het Periodiek Systeem – Verdiepende Vragen en Uitwerkingen

Het periodiek systeem uitgelegd: groepen, perioden en elektronenstructuur. Van alkalimetalen tot edelgassen met praktische vragen over bindingen en atoomnummers.

Thomas Smeman

Moeilijke vragen bestaan niet!

Staat je vraag er niet tussen? Neem contact op!

Hebben jullie op de korte termijn docenten beschikbaar?

Ja! Wij hebben vrijwel altijd docenten beschikbaar die op de korte termijn bijles kunnen geven in de Bèta vakken aan huis in Groningen. In drukke periodes laten we tijdig weten op welk termijn we docenten beschikbaar hebben.

Ik woon buiten Groningen, kan ik ook bijles krijgen van jullie?

Dat kan zeker! Er valt vrijwel altijd iets te regelen. Leerlingen die buiten de stad wonen spreken vaak af met onze docenten op openbare locaties zoals het forum of de middelbare school. Mocht de afstand te doen zijn per fiets, dan rekenen wij vaak voor bijles aan huis buiten de stad Groningen een reiskostenvergoeding van 5 euro per les, die rechtstreeks naar de docent gaat. Anders is online ook altijd nog een optie, al raden wij dat niet aan. De ervaring leert dat fysieke les het beste werkt!

Hebben jullie een opzegtermijn?

Nee! Wij hebben geen opzegtermijn. Leerlingen en docenten regelen bij ons onderling wanneer de bijles plaatsvindt, op de momenten dat voor beiden het beste uitkomt. Als dit ophoudt, geldt er bij ons geen verplichting om door te gaan.

Wanneer en hoe betaal ik voor de bijles?

Na de bijlessen sturen wij een factuur. Dit doen wij iedere maand. Je kan het factuur in de eerste twee week van de volgende maand verwachten. Deze is gemakkelijk online te betalen. Wil je je factuur controleren? Alle bijlessen zijn makkelijk terug te vinden vinden via mijn.bijlesbeta.nl.

Ik zit niet op de middelbare school, kan ik ook bijles krijgen van jullie?

Dat kan zeker! Onze topdocenten zijn zeer flexibel, door hun brede kennis kunnen we ons makkelijk aanpassen aan jou bijles vraag. Al onze docenten zijn student aan de Faculty of Science & Engineering van de Rijksuniversiteit Groningen, waardoor ze bijvoorbeeld ook vaardig genoeg zijn om je te helpen met een toelatingsexamen of cursus in bèta vakken.

Ik moet de bijles helaas kort van te voren afzeggen, wat gebeurt er dan?

Geef dat minstens 24 uur van te voren aan! Bij ons geldt dat de bijles tot 24 uur van tevoren mag worden afgezegd. Hierna zijn wij noodzakelijk de bijles te verreken. Onze docenten studeren allemaal en hebben het geven van bijles als bijbaan, wat er voor zorgt dat zij bijlessen zorgvuldig moeten inplannen. Vandaar dat wij genoodzaakt zijn een bijles alsnog te verrekenen wanneer deze binnen 24 uur wordt afgezegd.

Geven jullie ook examen training?

Dat doen we zeker! We geven dit jaar examentraining voor het vak wiskunde.

Klik hier voor meer informatie.

Voor alle andere vakken kunnen onze docenten je perfect voorbereiden op je examen via onze bijles.