Exponentiële verbanden: wat gebeurt er als de tijd verandert?

Exponentiële verbanden: wat gebeurt er als de tijd verandert?

(Wiskunde A Havo Bovenbouw)

Een exponentieel verband is een verband waarbij een hoeveelheid toeneemt of afneemt. Deze toe- of afname is dan telkens een gedeelte van deze hoeveelheid. De formule die dit verband beschrijft, heeft de vorm

De groeifactor $g$ in deze formule heeft een belangrijke eigenschap, die vaak niet heel duidelijk wordt aangegeven: er hoort een bepaalde tijdseenheid bij. Deze tijdseenheid is nauw verbonden met de $t$ in de formule; de $t$ staat namelijk ook voor 'tijd'.

In de voorbeelden hieronder leer je hoe je met de tijd (zowel $t$ als de tijdseenheid van $g$) moet omgaan in een exponentieel verband.

Vraag 1

Een bank biedt 3% rente per half jaar. Als je een bedrag 3 jaar op een rekening laat staan bij deze bank, hoeveel procent winst maak je dan? Rond af op hele procenten.

Uitwerking

Een toename van 3% staat gelijk aan een groeifactor $g=1.03$. Nu moeten we onszelf de vraag stellen: welke tijdseenheid hoort hierbij? Het staat gelukkig erg duidelijk in de vraag: een half jaar.

Onze taak is om te berekenen hoeveel toename er in 3 jaar plaatsvindt. Dat betekent dat de tijd 6 keer zo lang wordt. Dit doen we door gebruik te maken van het gedeelte $g^t$ uit de formule. We kunnen gebruik maken van $t$ om de tijd netjes af te stellen, namelijk:

We hebben een nieuwe groeifactor gemaakt ($g=1.194$), en deze groeifactor heeft een nieuwe tijdseenheid, namelijk 3 jaar. Dat hebben we gedaan door op de plek van $t$ in te vullen hoe vaak we de oude tijdseenheid nodig hadden (6 keer). Een groeifactor van 1.194 betekent 19.4% groei.

Conclusie: We moeten afronden op hele procenten, dus als eindantwoord geven we: 19% groei.

Vraag 2

In 2005 had de gemiddelde gebruiker van een mobiele telefoon 250 MB mobiel internet per maand. In 2025 was dit gemiddeld 14 GB per maand. Ga er vanuit dat de hoeveelheid mobiel internet voor gebruikers exponentieel groeide in deze tijd, en stel een formule op van de hoeveelheid GB mobiele data die gebruikers hadden in de vorm

met $t$ in jaren, en $t=0$ in 2005. Rond af op 2 decimalen.

Uitwerking

Bij het opstellen van een exponentiële formule is het jouw taak om $b$ en $g$ te vinden. In dit geval weet je $b$ al: in de opdracht lezen we dat $t=0$ in 2005, dus ons begingetal is de hoeveelheid data in 2005. Dat is 250 MB, oftewel 0.25 GB.

Wat weten we al over $g$? We weten dat de mobiele data is gestegen van 0.25 naar 14 GB. Dat betekent dat de mobiele data 56 keer zo groot is geworden, en dat duurde 20 jaar. Met andere woorden: $g=56$, en de tijdseenheid die bij deze $g$ hoort, is 20 jaar.

De opdracht vertelt ons dat we een formule moeten opstellen met $t$ in jaren. Zoals gezegd zijn $t$ en de tijdseenheid van $g$ nauw verbonden met elkaar: we moeten de tijdseenheid van $g$ veranderen, van 20 naar 1 jaar. Dit betekent dat de tijd 20 keer zo klein wordt:

De (oude) $g$ heeft hier een tijdseenheid van 20 jaar. De $t$ geeft, net als in Vraag 1, aan hoe vaak we deze tijdseenheid willen gebruiken. We willen weten wat er in 1 jaar gebeurt, en dat is uiteraard 1/20 van 20 jaar. De uitkomst hiervan is onze nieuwe $g$, en deze heeft dan de correcte tijdseenheid.

Conclusie: Uit de vraag lezen we $b=0.25$. Er wordt gevraagd voor een formule met $t$ in jaren, en we hebben berekend dat, in dat geval, $g=1.22$. Dus

Vraag 3

Een hoeveelheid wordt elke 7 minuten 7% kleiner. Bereken hoeveel procent van de hoeveelheid er is verdwenen na een uur. Rond af op hele procenten.

Uitwerking

In Vraag 1 hebben we gezien hoe je de tijdseenheid van $g$ groter kunt maken, in Vraag 2 hebben we hem juist kleiner gemaakt. In deze vraag is het echter niet zo simpel om in één stap de tijdseenheid netjes te maken. In deze vraag wil ik laten zien hoe je kunt doorrekenen met je eigen antwoord, om zo meerdere stappen te zetten.

Deze hoeveelheid wordt 7% kleiner, dus $g=0.93$, met een tijdseenheid van 7 minuten. Laten we daar eerst eventjes 1 minuut van maken. Dat betekent dus $t=\frac{1}{7}$:

Het is nu erg belangrijk dat we dit getal niet afronden!! We moeten er namelijk nog mee doorrekenen. De tijdseenheid van onze nieuwe $g$ moeten we van 1 minuut veranderen in 1 uur, dus we moeten hem 60 keer zo lang laten duren. Dat geeft ons $t=60$:

Conclusie: We zien dat er na een uur nog, afgerond, 54% van de hoeveelheid over is. Dit betekent dat er 46% is verdwenen.