Rekenen met procenten

Rekenen met procenten

(Wiskunde A Havo Bovenbouw)

Als je met procenten hebt gerekend, zal het je zijn opgevallen dat er een heleboel formules bestaan die je kunnen helpen. Die kun je gerust uit je hoofd leren, maar ze lijken allemaal best veel op elkaar, en dat maakt ze verwarrend. Daarnaast blijft het op een toets, of bij het eindexamen, helaas nooit bij het invullen van een formule; je moet altijd nog verder rekenen met je antwoord, en dat is waar je dan vast kunt lopen.

Met behulp van de opdrachten hieronder wil ik laten zien dat procenten eigenlijk best meevallen, als je ze op de goede manier benadert. In plaats van een heleboel formules uit je hoofd te leren, raad ik aan om de volgende regels te onthouden:

1. Benader opdrachten met procenten als een keersom,
2. Onthoud dat 100% = 1.00 (één komma nul nul)
3. Onthoud “keer 1 doet niks”.

De eerste regel is handig omdat procenten veel meer verbonden zijn met keer/gedeeld-door dan met plus/min. De tweede regel helpt je met het omzetten van procenten naar een factor (= een keersom), en de derde regel voorkomt enórm veel slordigheidsfouten. Het herinnert je eraan dat je met keer/gedeeld-door “niks doet” als je het getal 1 gebruikt, in tegenstelling tot plus/min, waar het getal nul juist “niks doet”.

Laten we naar de opdrachten gaan.

Vraag 1

1.1) Bereken voor onderstaande percentages van toe- of afname de bijbehorende groeifactor.

a) 60% afname

b) 250% toename

1.2) Bereken voor onderstaande groeifactoren de bijbehorende percentages toe- of afname.

c) $g=1.6$

d) $g=0.04$

Uitwerking

1.1)

a) Je begint nooit op 0%, maar altijd op 100%. Dat komt door Regel 3. Als je hier 60% vanaf haalt, krijg je 40%. Regel 2: dat is een (groei-)factor van 0.40.

Conclusie: $g=0.40$ of natuurlijk $g=0.4$.

b) Als je op 100% begint (Regel 3), en er 250% toename is, heb je in totaal 350%, oftewel: $\times3.50$ (Regel 2).

Conclusie: $g=3.5$

1.2)

c) Met Regel 2 krijg je: $g=1.6 \rightarrow$ 160%. Regel 3 vertelt ons: we beginnen op 100%; dus kun je zien dat dit 60% toename is.

Conclusie: 60% toename.

d) We beginnen weer bij Regel 2: $0.04\rightarrow 4\%$. En onthoud dat we altijd beginnen op 100%, vanwege Regel 3. Hoeveel procent is er dan dus verdwenen? Dat is $100-4=96\%$.

Conclusie: 96% afname.

Vraag 2

In een natuurgebied leeft een populatie konijnen. In de warme seizoenen planten de konijnen zich voort; in de koude seizoenen is er weinig te eten, en krimpt de populatie.

We kijken naar de data 21 December 2024, 21 Maart 2025, 21 Juni 2025, 21 September 2025 en 21 December 2025. Tussen deze data liggen de winter, lente, zomer en herfst.

Hieronder lees je hoe ieder seizoen met de konijnenpopulatie veranderde:

• Slechts 28% van de konijnen heeft de winter overleefd.
• In de lente groeide de populatie met 150%.
• In de zomer groeide de populatie met 47%.
• 20% van de konijnen heeft de herfst niet overleefd.

Op 21 Maart 2025 leefden er 1400 konijnen in het natuurgebied.

Bereken met hoeveel procent de populatie konijnen is toe- of afgenomen tussen 21 December 2024 en 21 December 2025. Geef je antwoord in 1 decimaal.

Uitwerking

We krijgen vijf nuttige data waarop we onze populatie konijnen kunnen invullen, namelijk het begin van elk seizoen. Verder wordt ons verteld dat, aan het begin van de lente, er 1400 konijnen zijn. Met 21 Maart als startpunt, verandert de populatie zoals beschreven.

Voor elke datum ga ik het probleem benaderen als een keersom. Zo leren we het namelijk van Regel 1. Dat betekent:

oftewel, Beginpopulatie keer Factor = Eindpopulatie. De factor beschrijft wat er met de populatie gebeurt.

Laten we beginnen met de lente: de beginpopulatie, $B$, is 1400, en die groeit met 150%. Onthoud dat 'keer 1' niks doet; dus om met 150% toe te nemen, moeten we ons begingetal vermenigvuldigen met 2.5 (zie Regel 2: dat is namelijk 250%). Oftewel: $F=2.5.$

Dit is hoeveel konijnen er zijn op 21 Juni. Laten we doorrekenen naar September: de beginpopulatie ($B$) van 3500 groeit met 47%, dus dat betekent: $F =1.47$.

In de herfst zien we een afname van 20%. Je begint altijd met 100%. Vanwege de afname verandert dat in 80% (zie Regel 3), en dat wordt een factor $F = 0.8$ (zie Regel 2):

Laten we deze getallen gaan invullen.

Tot slot willen we weten hoeveel konijnen er in het gebied leefden op 21 December 2024. We weten in dit geval niet wat de beginpopulatie $B$ is. Wat we daarentegen wel weten, is de factor ($F=0.28$), en de eindpopulatie ($E=1400$).

Als we dit invullen, krijg je:

Als je vervolgens $B$ vrijmaakt, krijg je:

Nu hebben we genoeg informatie om de opdracht af te maken.

Ten eerste is het duidelijk dat de populatie is afgenomen. We willen weten hoeveel procent afname er is. Dat kunnen we heel simpel berekenen: we kunnen met behulp van Regel 2, en de Factor, zien wat de afname is.

We stellen weer een keersom op, vanwege Regel 1. We weten de beginpopulatie; dat is 5000, en we weten de eindpopulatie, dat is 4116. De factor weten we nog niet.

Als we F vrijmaken, krijgen we:

Dit is kleiner dan het getal 1, dus dat geeft inderdaad aan dat er afname is. 1 is overigens ook hetzelfde als 100% (zie Regel 2).

Nogmaals met Regel 2, kunnen we onze factor omzetten naar procenten: $0.8232 = 82.32\%$. Dus tot slot zien we: we houden geen 100% over; maar 82.32%. Dat betekent dus een afname van $100-82.32=17.68\%$.

Conclusie: Afgerond op 1 decimaal, is de populatie konijnen met 17.7% afgenomen.